SUBIECTUL IV  [ rezolvare : prof. LIVIU STROIE, 27 aprilie 2005 ]

1. 
   
    
2. Pentru orice avem:

   , şi astfel :

   

   
    
3. 
   
    
4. Deoarece este tocmai inversa funcţiei , rezultă că pentru orice avem şi astfel

   

   
    
5. Domeniul de valoi al funcţiei este inclus în domeniul de valori al funcţiei , anume intervalul . Aşadar
   
    
6. Fie G o primitivă a funcţiei f. Atunci ,unde (demonstrat la pct. anterior). Deci , şi ca atare G este crescătoare pe. Să remarcăm însă că G nu poate fi constantă pe nici un interval, în caz contrar rezultând că f se anulează pe acel interval (deci este constantă ), în contradicţie cu faptul că derivata lui f este nenulă (conform pct. c)
   
    
7. Pentru avem iar pentru avem :

   şi astfel: