SUBIECTUL I  [ rezolvare : prof. LIVIU STROIE, 27 aprilie 2005 ]

1.

2. Există 4 submulţimi cu câte 3 elemente şi 1 submulţime cu 4 elemente (mulţimea însăşi). În total : 5 submulţimi.

3. Elementele din inversabile faţă de înmulţire sunt : . (numerele relative prime cu 4) Astfel probabilitatea căutată este .

4. Se observă că este soluţie a ecuaţiei . Aceasta este şi singura soluţie.

Într-adevăr, funcţia este strict crescătoare (ca sumă de două funcţii strict crescătoare) şi deci f este injectivă, ceea ce este echivalent cu faptul că ecuaţia are cel mult o soluţie.

5.

6.

7. ;

8.

9. Punctele de inflexiune sunt punctele în care derivata a doua se anulează şi îşi schimbă semnul. Cum , rezultă imediat că singurul punct cu proprietatea menţionată este .

SUBIECTUL II  [ rezolvare : prof. LIVIU STROIE, 27 aprilie 2005 ]

10. Punctele de extrem local sunt punctele în care derivata funcţiei se anulează şi îşi schimbă semnul. Cum , dar , rezultă că funcţia f nu are nici un punct de extrem local.

11.

12. , deci

13. Amplificând cu avem:

14. Aplicăm formula distanţei de la un punct la o dreaptă :

15. Aplicăm formula lui Heron : , unde . Obţinem

16. Prin « dedublare » obţinem ecuaţia tangentei: