SUBIECTUL IV  [ rezolvare : prof. LIVIU STROIE, 27 aprilie 2005 ]

1. Deoarece , pentru orice , rezultă că

   

   
    
2. Este suficient să studiem funcţia f pe o vecinătate a punctului , şi vom lua pentru aceasta intervalul . Deoarece rezultă că

   

   Atunci

   ,

   deci f este continuă în .

   
    
3. Deoarece , avem:

   

   
    
4. Cum , este suficient să remarcăm că pentru orice are loc dubla inegalitate , evident adevărată dacă observăm că şi .

   Deci şi astfel rezultă

   
    
5. Fie G o primitivă a funcţiei f. Atunci , unde (demonstrat la pct. anterior). Deci , şi ca atare G este strict crescătoare pe .
    
6. 

   Rezultă că

   
    
7. Funcţia este periodică de perioadă 1 dacă pentru orice avem:

   

   Se ştie însă că funcţia este o primitivă a funcţiei f , deci

   .

   Atunci, avem : , de unde rezultă

   Practic, putem lua