SUBIECTUL III  [ rezolvare : prof. LIVIU STROIE, 27 aprilie 2005 ]

1. 
    
2. 
    
3. 
    
4. Verificăm că pentru orice avem: . Într-adevăr:

   

   
    
5. Fie . Atunci

   

   

   Rezultă că sau, schimbând notaţiile,

   
    
6. Fie ;

   

   
    
7. Vom folosi următorul rezultat ajutător:

   „Pentru orice şi pentru orice are loc propoziţia " ,

   Demonstraţie : (inducţie după n )

   - Conform punctului anterior este verificată.

   - Să presupunem acum adevărată

   Atunci , dacă , atunci ţinând seama de ipoteza de inducţie şi de faptul că din pct. d rezultă că dacă atunci şi orice putere a matricii Z aparţine de asemenea lui , obţinem succesiv :

   ,

   deci este adevărată

   Cu aceasta rezultatul ajutător este demonstrat.

   În fine, avem :

   de unde conform rezultatului amintit anterior rezultă .