SUBIECTUL I  [ rezolvare : prof. LIVIU STROIE, 27 aprilie 2005 ]

1. Orice subgrup al lui va conţine elementul neutru .

   este evident subgrup;

   Apoi, dacă un subgrup va conţine elementul atunci el va conţine succesiv şi pe . Se ajunge la grupul însuşi, .

   Trecând la cercetarea subgrupurilor care conţin se găseşte

   În fine dacă un subgrup conţine elementul atunci el va conţine succesiv şi pe . Se ajunge iarăşi la .

   Concluzionând, sunt singurele subgrupuri ale lui .

   
    
2. Se observă că este soluţie a ecuaţiei . Aceasta este şi singura soluţie, deoarece funcţia exponenţială este strict crescătoare deci injectivă.
    
3. Elementele din inversabile faţă de înmulţire sunt : . (numerele relative prime cu 8). Astfel probabilitatea căutată este
    
4. 

   
    

5. 
   
    
6. 
   
    
7. 
   
    
8. 
   
    
9. Funcţia exponenţială nu are nici un punct de inflexiune (fiind convexă pe întregul ei domeniu de definiţie).
    
10. Funcţia exponenţială este strict crescătoare pe şi în consecinţă nu are nici un punct de extrem local.  
    

SUBIECTUL II  [ rezolvare : prof. LIVIU STROIE, 27 aprilie 2005 ]

11. Cum şi cum valoarea se găseşte printre termenii şirului dat, aceasta este şi cel mai mare.
     
    
12. Ecuaţia planului sub formă de determinant este:

    ,

    şi dezvoltând după prima linie:

    

     
    
13. Volumul tetraedrului este egal cu o şesime din valoarea absolută a determinantului

    ,

    determinant care este egal tocmai cu dezvoltarea de la pct. anterior pentru , deci

    

    
     
14. Coordonatele punctului A trebuie să verifice ecuaţia elipsei :

    

    
     
15. Aplicăm formula lui Heron : , unde . Obţinem
     
16. Folosim forma trigonometrică şi formula lui Moivre: