1. submultimi.

2. Fie x grupa formata din literele a si b.

Cum x, c, d se pot permuta in P₃ = 3! = 6 moduri iar x poate fi a,b sau b,a rezulta in total moduri.

3. Se stie ca ecuatia fiind simetrica de grad impar admite radacina .

Obtinem si cum nu are radacini reale, rezulta ca polinomul dat are o singura radacina rationala, anume .

4. Cu relatiile lui Viete obtinem imediat ca suma radacinilor polinomului este egala cu .

5. iar produsul este egal tot cu .

6.

7. ( Am folosit formula gasita la pct. 6.)

8. Punctele de extrem local ale unei functii derivabile (asa cum este functia data) se gasesc printre zerourile derivatei. Asadar In fine, verificam ca acesta este intr-adevar punct de estrem local, observand ca si .

9. deoarece functia este impara.

10.

Se realizeaza cu usurinta figura reprezentand cele noua puncte intr-un sistem de coordonate.

1. Suma absciselor celor noua puncte este
2. Identic, suma ordonatelor este egala tot cu 18.
3. Daca ar fi " echilibrata" atunci ar rezulta deci A = B.
4. In figura alaturata se verifica si , asadar multimea este " echilibrata".
5. Alegem si

Suma absciselor punctelor din este egala cu iar suma absciselor punctelor din este egala cu ; Idem pentru ordonate.

f) Pentru ca o multime de puncte sa fie echilibrata este obligatoriu ca suma absciselor cat si suma ordonatelor punctelor sale sa fie pare.

Pentru punctele din aceste sume sunt egale cu 18 ( vezi pct. a si b).

Pentru punctele din sumele devin 16.

Apoi, pentru ca dupa excluderea unui alt punct din cele doua sume sa ramana pare trebuie ca ambele coordonate ale punctului sa fie pare. Insa aceasta conditie nu este indeplinita de nici unul din punctele din .

1. Luam si

Luama

2. Fie , cu



3. 
4. Pentru orice matrice avem:

.

Dar si sunt fie ambele pare fie ambele impare ceea ce implica faptul ca

este fie multiplu de 4 fie numar impar.

Deoarece numarul 2 nu verifica nici una din aceste conditii inseamna ca .

5. 
6. 

Printr-o analiza asemanatoare cu cea de la pct d) rezulta ca

si sunt divizori pari ai lui 2004.

Luam si obtinem deci

1. 
2. 
3. Deoarece



rezulta ca

de unde

deci functia derivabila este strict descrescatoare.

4. 



Apoi,

Facand substitutia obtinem:

( este tocmai limita calculata la pct. b )

Deci dreapta este asimptota oblica la catre

5. 

este convexa pe .

6. 

Aceasta integrala se calculeaza prin parti astfel:

Rezulta